Question

设圆上点A（2，3）关于直线l₁：x+2y=0的对称点B仍在圆上，且该圆的圆心在直线l₂：4x+5y=9上，
（1）求B点的坐标；   
（2）求圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设B点坐标为（x，y），由圆上点A（2，3）关于直线l₁：x+2y=0的对称点B仍在圆上，知

y-3 x-2 =2 x+2 2 +2× y+3 2 =0

，由此能求出B点的坐标．
（2）由圆上点A（2，3）关于直线l₁：x+2y=0的对称点B仍在圆上，且该圆的圆心在直线l₂：4x+5y=9上，知圆心同时在直线l₁和l₂上，由此能求出圆心坐标和圆半径，从而能够求出圆的方程．

解答：解：（1）设B点坐标为（x，y），
∵圆上点A（2，3）关于直线l₁：x+2y=0的对称点B仍在圆上，
∴

y-3 x-2 =2 x+2 2 +2× y+3 2 =0

，
解得x=-

6

5

，y=-

17

5

．
∴B点的坐标为B（-

6

5

，-

17

5

）．
（2）∵圆上点A（2，3）关于直线l₁：x+2y=0的对称点B仍在圆上，
且该圆的圆心在直线l₂：4x+5y=9上，
∴圆心同时在直线l₁和l₂上，
解方程组

4x+5y=9 x+2y=0

，得x=6，y=-3，
∴圆心坐标为M（6，-3），
∴圆半径r=|AM|=

(6-2)2+(-3-3)2

=

52

，
∴圆的方程：（x-6）²+（y+3）²=52．

点评：本题考查点关于直线的对称点的求法，考查直线方程的求法，解题的关建是合理利用中点坐标公式和求圆心坐标．