Question

对于非零的自然数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴相交于A_n，B_n两点，若以|A_nB_n|表示这两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+┅+|A₂₀₀₉B₂₀₀₉|的值 等于

 

．

Answer 1

分析：根据函数抛物线方程令y=0求得x的关系式，代入两点间的距离公式可得到|A_nB_n|的关系式，然后代入到|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₉B₁₉₉₉|中即可得到答案．

解答：解：令（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0，
得x1=

1

n

，x2=

1

n+1

所以A_n（

1

n

，0），B_n（

1

n+1

，0）
所以|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

，
所以|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+┅+|A₂₀₀₉B₂₀₀₉|
=（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+┉+（

1

2009

-

1

2010

）
=1-

1

2010

=

2009

2010

．
故答案为：

2009

2010

．

点评：本题主要考查抛物线的应用、数列求和的累加法、数列与解析几何的综合．考查对基础知识的灵活运用．