题目内容

对于非零的自然数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴相交于A_n，B_n两点，若以|A_nB_n|表示这两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+┅+|A₂₀₀₉B₂₀₀₉|的值等于________．

$\text{[math]}$
分析：根据函数抛物线方程令y=0求得x的关系式，代入两点间的距离公式可得到|A_nB_n|的关系式，然后代入到|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₉B₁₉₉₉|中即可得到答案．
解答：令（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0，
得 $\text{[math]}$
所以A_n（ $\text{[math]}$ ），B_n（ $\text{[math]}$ ）
所以|A_nB_n|= $\text{[math]}$ ，
所以|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+┅+|A₂₀₀₉B₂₀₀₉|
=（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+┉+（ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查抛物线的应用、数列求和的累加法、数列与解析几何的综合．考查对基础知识的灵活运用．

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