Question

（选做题）
已知曲线（t为参数），曲线（θ为参数）
（I） 将曲线C₁和曲线C₂化为普通方程，并判断两者之间的位置关系；
（II） 分别将曲线C₁和曲线C₂上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到新曲线和，与的交点个数和C₁与C₂的交点个数是否相同？给出理由．

Answer 1

解：（I）∵曲线C₁：（t为参数），
∴y=2x+．
∵曲线C₂：（θ为参数），
∴x²+y²=1．
∵圆心（0，0）到直线y=2x+的距离d==圆半径，
∴曲线C₁和曲线C₂相切．
（II）y=2x+上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到
：y=x+．
x²+y²=1上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到
：．
由（Ⅰ）知曲线C₁和曲线C₂相切，故曲线C₁和曲线C₂有一个交点．
把：y=x+代入：，并整理，得，
∵=0，
∴与的交点个数也是一个．
与的交点个数和C₁与C₂的交点个数相同．