Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AB边中点，已知

3

acosA=ccosB+bcosC
（1）求cosA的值；     
（2）若a=

6

，cosB+

2 3

3

cosC=1，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形求出cosA的值即可；
（2）由cosA的值，求出sinA的值，根据cosB=-cos（A+C），利用两角和与差的余弦函数公式列出关系式得到A=C，确定出AB的长，根据D为AB中点求出AD的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AC的长，在三角形ADC中，利用余弦定理即可求出CD的长．

解答：解：（1）将

3

acosA=ccosB+bcosC，利用正弦定理化简得：

3

sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosA=

3

3

；
（2）∵BC=a=

6

，cosA=

3

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

6

3

，
∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=-

3

3

cosC+

6

3

sinC，
代入cosB+

2 3

3

cosC=1中得：

3

3

cosC+

6

3

sinC=cosAcosC+sinAsinC=cos（A-C）=1，
∴A-C=0，即A=C，
∴AB=BC=a=

6

，AD=

1

2

AB=

6

2

，
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，
即6=6+AC²-2

2

AC，
解得：AC=2

2

，
在△ACD中，利用余弦定理得：CD²=AD²+AC²-2AD•AC•cosA=

3

2

+8-2×2

2

×

6

2

×

3

3

=

11

2

，
则CD=

22

2

．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．