Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点，离心率等于．直线l与椭圆C交于M，N两点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设C方程为， 　　则b＝1． 　　∴椭圆C的方程为　4分 　　(Ⅱ)假设存在直线，使得点是的垂心． 　　易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1． 　　设直线的方程为，　6分 　　代入椭圆方程并整理，可得． 　　设，则，． 　　于是 　　 　　解之得或．　10分 　　当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意． 　　当时，经检验知和椭圆相交，符合题意． 　　所以，当且仅当直线的方程为时，点是的垂心　12分