题目内容

已知f（x）=ax-3a+1，g（x）= $数学公式$ （x＞2）．
（1）若a=-1，解不等式f（x）＞ $数学公式$ g（x）；
（2）判断函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数．

解：（1）a=-1时，f（x）=x+4，
由f（x）＞ $\text{[math]}$ g（x）（x＞2）
得-x+4＞ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
∴2x²-12x+17＜0（*）
∴3- $\text{[math]}$ ＜x＜3+ $\text{[math]}$ ，
∵3- $\text{[math]}$ ＞2，∴解集为：{x|3- $\text{[math]}$ ＜x＜3+ $\text{[math]}$ }，
（2）由f（x）=g（x），得ax-3a+1= $\text{[math]}$ ，∴（ax-3a+1）（x-2）=1
即ax²+（1-5a）+6a-3=0，（*）①
a=0时，x=3，两个图象公共点的个数是1，公共点（3，1）
②a≠0时，方程*即[ax-（2a-1）]（x-3）=0
∴（x-3）（x- $\text{[math]}$ ）=0，
x₁=2，x₂= $\text{[math]}$ ，
（i）若 $\text{[math]}$ =3，即a=-1时，方程*有两个相等的实根3，
∴函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数为1，
（ii）若 $\text{[math]}$ ≠3，即a≠-1时，
∵x₂-2= $\text{[math]}$ -2=- $\text{[math]}$ ，
当a＞0时，x₂= $\text{[math]}$ ＜2，
当a＜0时，x₂= $\text{[math]}$ ＞2，
综上所述，a≥0或a=-1函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数为1，
a＜0或a≠-1函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数为2．
分析：（1）a=-1时，f（x）=x+4，由f（x）＞ $\text{[math]}$ g（x）（x＞2）转化为2x²-12x+17＜0，再解此一元二次不等式即可；
（2）由f（x）=g（x），得到ax²+（1-5a）+6a-3=0，再结a进行分类讨论：①a=0时，②a≠0时，（i）若 $\text{[math]}$ =3，（ii）若 $\text{[math]}$ ≠3，分别求得图象公共点的个数，综上所述函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象公共点的个数．
点评：本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．