Question

已知f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1），
（1）证明函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（3）当x∈[1，2]时函数f （x ）的最大值为

10

3

，求此时a的值．

Answer 1

分析：（1）只需证明函数为偶函数；（2）关键是作差，变形；（3）由（2）知a2+a-2=

10

3

，从而可求a的值．

解答：解：（1）f（-x）=a^-x+a^x=f（x），故函数是偶函数，所以函数f （ x ）的图象关于y轴对称；
（2）单调递增，证明如下
设x₁＜x₂，x∈（0，+∞），则f(x1)-f(x2)=ax1+a-x1-ax2-a-x2=(ax1-ax2)  (1-

1

ax1ax2

)＜0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）由（2）知a2+a-2=

10

3

，解得a=

3

3

或a=

3

点评：本题主要考查偶函数的定义及其图象性质，考查函数单调性的定义，考查利用单调性求函数的最值．