Question

在美化校园的植树活动中，某同学共种了6棵树，各棵树的成活与否是相互独立的每棵树成活的概率均为p．已知该同学所种树中有3棵成活的概率为

5

16

．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若有3棵或3棵以上的树未成活，则需要补种，求需要补种的概率；
（Ⅲ）设ξ为成活树的棵数，求Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）各棵树成活与否是相互独立的，每棵树成活的概率均为p，本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验公式得到等式，解出未知数即可．
（Ⅱ）有3棵或3棵以上的树未成活，则需要补种，需要补种包括则包括有：3颗未成活、有4颗未成活、有5颗未成活、有6颗未成活共四种情况，用独立重复试验公式写出结果．
（Ⅲ）由题意知，ξ为成活树的棵数，各棵树的成活与否是相互独立的，得到变量符合二项分布，根据二项分布写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）∵各棵树成活与否是相互独立的，每棵树成活的概率均为p，
本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验公式得到
∴

C

3 6

p3(1-p)3=

20

64

，解得p=

1

2

（Ⅱ）∵有3棵或3棵以上的树未成活，则需要补种
记“需要补种”为事件A，则包括有
A₁：3颗未成活、A₂：有4颗未成活、A₃：有5颗未成活、A₄：有6颗未成活共四种情况
P(A1)=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)3=

20

64

，
P(A2)=

C

4 6

(

1

2

)4(

1

2

)2=

15

64

P(A3)=

C

5 6

(

1

2

)5(

1

2

)1=

6

64

，P(A4)=

C

6 6

(

1

2

)6(

1

2

)0=

1

64

∴P(A)=

20+15+6+1

64

=

21

32

（Ⅲ）由题意知，ξ服从二项分布B(6，

1

2

)
∴Eξ=np=3，或ξ的分布列为

∴Eξ=0×

1

64

+1×

6

64

+2×

15

64

+3×

20

64

+4×

15

64

+5×

6

64

+6×

1

64

=3

点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．