题目内容

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=5-log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；
（3）设T_n= $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ，求T_n．

解：（1）a_n＞0，∴a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2，∴a₃a₅=4，而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q= $\text{[math]}$ ，a₁=16，
∴a_n=16× $\text{[math]}$ =2^5-n；
（2）b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴b_n+1-b_n=1，
∴{b_n}是以b₁=1为首项，1为公差的等差数列．
∴S_n= $\text{[math]}$ ；
（3）由（2）知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
∴T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ++ $\text{[math]}$ =2[（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）++（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
分析：（1）直接利用a₃+a₅=5，以及a₃与a₅的等比中项为2即可求出a₃和a₅，进而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先把（1）的结论代入整理出数列{b_n}的通项公式，得数列{b_n}为等差数列，再代入等差数列的求和公式即可；
（3）先利用（2）的结论知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），再代入求和即可．
点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识以及数列求和的裂项法，是对基础知识的考查，属于中档题．