Question

函数f（x）=2ax-x²+lnx，a为常数．
（1）当a=

1

2

时，求f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数f′（x），并将其因式分解，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间，继而得到f（x）的最大值；
（2）先求函数的导函数f′（x），将函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数问题转化为f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立问题，进而将不等式参变分离，转化为求函数最值问题即可．

解答：解：（1）当a=

1

2

时，f（x）=x-x²+lnx，则f（x）的定义域为：（0，+∞），
∴f′(x)=1-2x+

1

x

=

-(2x+1)(x-1)

x

．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
∴f（x）的最大值为f（1）=0；
（2）∵f′(x)=2a-2x+

1

x

．
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立．
∴2a-2x+

1

x

≥0，或2a-2x+

1

x

≤0在区间[1，2]上恒成立．
即2a≥2x-

1

x

，或2a≤2x-

1

x

在区间[1，2]上恒成立，
设h(x)=2x-

1

x

，则h′(x)=2+

1

x2

＞0
∴h(x)=2x-

1

x

在区间[1，2]上为增函数．
∴h(x)max=h(2)=

7

2

，h(x)min=h(1)=1，
∴函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，只需使2a≥

7

2

，或2a≤1即可，
∴a≥

7

4

，或a≤

1

2

．

点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法，已知函数的单调区间求参数范围的方法，体现了导数在函数单调性中的重要应用；不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法．