Question

在△ABC中，顶点A(－1，0)，B(1，0)，动点D，E满足：①；②，③共线．

(Ⅰ)求△ABC顶点C的轨迹方程；

(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同交点M，N，就一定有，若存在，求该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设C(x，y)，由得，动点的坐标为； 　　由得，动点E在y轴上，再结合与共线， 　　得，动点E的坐标为　　2分 　　由的，， 　　整理得，． 　　因为的三个顶点不共线，所以， 　　故顶点C的轨迹方程为　　5分 　　(Ⅱ)假设存在这样的圆，其方程为， 　　当直线MN的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程， 　　得， 　　设M，N， 　　则， 　　所以(*)　　7分 　　由，得0， 　　即， 　　将式子(*)代入上式，得　　9分 　　又直线MN：与圆相切知：． 　　所以，即存在圆满足题意； 　　当直线MN的斜率不存在时，可得，满足． 　　综上所述：存在圆满足题意　　12分