Question

在△ABC中，顶点A，B，动点D，E满足：①；②，③共线.

（Ⅰ）求△ABC顶点C的轨迹方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同交点M，N，就一定有，若存在，求该圆的方程；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(I)设C（x,y）,由得，动点的坐标为；

由得，动点E在y轴上，再结合与共线，

得，动点E的坐标为;                  …………2分

由的，，整理得，.

因为的三个顶点不共线，所以，

故顶点C的轨迹方程为.…………5分

(II)假设存在这样的圆，其方程为，

当直线MN的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，

得，

设M，N，

则，

所以 (*)…………7分

由，得0，

即，

将式子(*)代入上式，得.…………9分

又直线MN：与圆相切知：.

所以，即存在圆满足题意；

当直线MN的斜率不存在时，可得，满足.

综上所述：存在圆满足题意.

【解析】略