Question

（2012•绵阳三模）在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c．已知B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．
（I）求顶点A的轨迹方程；
（II）设直线l过点B且与点A的轨迹相交于不同的两点M、N如果满足|

CM

+

CN

|=|

CM

-

CN

|，求l的方程．

Answer 1

分析：（I）根据B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列，可得b+c=4，即|AC|+|AB|=4，由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），从而可得椭圆的方程；
（II）由|

CM

+

CN

|=|

CM

-

CN

|，可得

CM

•

CN

=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0，分类讨论：①直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，整理利用韦达定理，可求k的值，从而可得直线的方程；②当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-1，M（-1，

3

2

），N（-1，-

3

2

），

CM

•

CN

≠0，从而可得结论．

解答：解：（I）由题知

a=2 b+c=2a

得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为2，半焦距为1，
于是短半轴长为

3

．
∴顶点A的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)．    …（4分）
（II）∵|

CM

+

CN

|=|

CM

-

CN

|，
∴|

CM

+

CN

|²=|

CM

-

CN

|²，展开得

CM

•

CN

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），于是

CM

=（x₁-1，y₁），

CN

=（x₂-1，y₂），
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0，即（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
整理得  x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0． （*）…（6分）
①直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，消去y整理得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
则x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

．
由（*）式得x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，
即（1+k²）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+k²+1=0，
∴（1+k²）×

4k2-12

3+4k2

+（k²-1）×

-8k2

3+4k2

+k²+1=0，
整理得

7k2-9

3+4k2

=0，解得k=±

3 7

7

．
∴直线l的方程为y=

3 7

7

x+

3 7

7

，或y=-

3 7

7

x-

3 7

7

．…（10分）
②当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-1，M（-1，

3

2

），N（-1，-

3

2

），
∴

CM

•

CN

=（-2，

3

2

）•（-2，-

3

2

）=4-3=1≠0，∴不满足题意．
综上所述，直线l的方程为y=

3 7

7

x+

3 7

7

，或y=-

3 7

7

x-

3 7

7

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题