Question

已知F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设A、B是这个椭圆上的两点，并且满足

NA

=λ

NB

，当λ∈[

1

5

，

1

3

]时，求直线AB的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知

2c= F1F2 |=2 a2 c -1= NF1 |=1 a2=b2+c2.

，解此方程组能够得到所求椭圆的方程．
（2）设直线AB的方程为y=k（x+2），由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2y2=2，解得0＜|k|＜

2

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再根据韦达定理结合题设条件进行求解．

解答：解：（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，∴

2c= F1F2 |=2 a2 c -1= NF1 |=1 a2=b2+c2.

（3分）
解得

a2=2 b2=1

，从而所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．（5分）
（2）∵

NA

=λ

NB

，?∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），
其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2y2=2，
即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0．（6分）
根据条件可知

△=( 4 k )2-8• 2k2+1 k2 ＞0 k≠0.

解得0＜|k|＜

2

2

．（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得

y1+y2= 4k 2k2+1 y1y2= 2k2 2k2+1 .

又由

NA

=λ

NB

，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
∴

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2.

从而

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λ y 2 2 = 2k2 2k2+1 .

消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

．（10分）
令φ(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]，任取

1

5

≤λ1＜λ2≤

1

3

，则φ(λ1)-φ(λ2)=

(1+λ1)2

λ1

-

(1+λ2)2

λ2

=(λ1-λ2)(1-

1

λ1λ2

)＞0．∴φ（λ）是区间[

1

5

，

1

3

]上的减函数，（12分）
从而φ(

1

3

)≤φ(λ)≤φ(

1

5

)，
即

16

3

≤φ(λ)≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，
解得-

1

2

≤k≤-

2

6

或

2

6

≤k≤

1

2

，适合0＜|k|＜

2

2

．
因此直线AB的斜率的取值范围是[-

1

2

，-

2

6

]∪[

2

6

，

1

2

]．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置和应用，解题时要注意公式的灵活运用，合理地进行等价转化．