Question

已知f（x）是偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₀₉=

1

2

．

Answer 1

分析：先根据f（2+x）=f（2-x）⇒f（4+x）=f（-x），再结合其为偶函数，得到周期为4；最后结合当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，即可求出结论．

解答：解：因为f（2+x）=f（2-x），⇒f（4+x）=f（-x），
∵f（x）是偶函数，
∴f（4+x）=f（x）．
故函数周期为4．
∴a₂₀₀₉=f（2009）=f（1+4×1002）=f（1）．
∵当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，
∴f（1）=f（-1）=2^-1=

1

2

．
即  a₂₀₀₉=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性以及周期性的应用．解决本题的关键在于利用f（2+x）=f（2-x）⇒f（4+x）=f（-x），再结合其为偶函数，得到周期为4．