Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）若函数存在最小值，且最小值大于，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，从而确定a的范围即可；

（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），得到f（x1）＞f（2a﹣x1），结合f（x1）＝f（x2），从而证明结论．

（Ⅰ）f′（x），

①a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，

∴f（x）在（0，+∞）递增，故无最小值；

②a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞a，

由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

此时f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），

令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），

则g（a）在（0，+∞）递减，又g（1）＝0，

∴0＜a＜1时，g（a）＞0，此时f（x）min＞0，

a≥1时，g（a）≤0，此时f（x）min≤0，

故a的范围是（0，1）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），则a＞0，

∵f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a，

令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），

则h′（x），

∴x∈（0，a）时，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，a）递减，

∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，

即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，

∴f（x1）＞f（2a﹣x1），

∵f（x1）＝f（x2），

∴f（x2）＞f（2a﹣x1），

∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，

∵f（x）在（a，+∞）递增，

∴x2＞2a﹣x1，∴a，

∴函数f（x）在区间[，+∞）递增，

∵x1≠x2，∴，

∴函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．