Question

在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c；
（Ⅰ）设向量

x

=(sinB，sinC)，向量

y

=(cosB，cosC)，向量

z

=(cosB，-cosC)，若

z

∥(

x

+

y

)，求tanB+tanC的值；
（Ⅱ）已知a²-c²=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据两个向量的坐标写出两个向量的和的坐标，根据向量平行的充要条件写出关于三角形内角的三角函数的关系式，在关系是两边同除以两个角的余弦值的积，把弦化切，得到结果．
（Ⅱ）本题所给的条件是既有边又有角，首先要统一为一种变量之间的关系，角化边，利用正弦定理和余弦定理转化，得到边之间的有一个关系，和题目中所给的另一个关系进行变化，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

x

=(sinB，sinC)，向量

y

=(cosB，cosC)，
∴

x

+

y

=(sinB+cosB，sinC+cosC)，
由

z

∥(

x

+

y

)，
得cosC（sinB+cosB）+cosB（sinC+cosC）=0，
即sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC
所以tanB+tanC=

sinB

cosB

+

sinC

cosC

=

sinBcosC+cosBsinC

cosBcosC

=-2；
（Ⅱ）∵sinAcosC+3cosAsinC=0，
∴sinAcosC=-3cosAsinC，
把角之间的关系变化为边之间的关系，
则由正弦定理及余弦定理有：a•

a2+b2-c2

2ab

=-3

b2+c2-a2

2bc

•c，
化简并整理得：a²-c²=2b²，
又由已知a²-c²=8b，
∴2b²=8b，
解得b=4或b=0（舍），
∴b=4．

点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以出现，是一个近几年常考的问题．