题目内容

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an+2＝3an+1－2an(n∈N*)，

(1)求证：数列{an+1－an}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)若数列{bn}满足4b1－14b2－1…4bn－1＝(an＋1)bn(n∈N*)，证明{bn}是等差数列．

答案：
解析：

　　(1)证明：∵an+2＝3an+1－2an，

　　∴an+2－an+1＝2(an+1－an)．

　　∴(n∈N*)．

　　∵a1＝1，a2＝3，

　　∴{an+1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．

　　(2)解：由(1)得an+1－an＝2n(n∈N*)，

　　∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

　　＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1

　　＝2n－1(n∈N*)．

　　(3)证明：∵4b1－14b2－1…4bn－1＝(an＋1)bn．

　　∴4(b1＋b2＋…＋bn)－n＝2nbn．

　　∴2[(b1＋b2＋…＋bn)－n]＝nbn，①

　　2[(b1＋b2＋…＋bn＋bn+1)－(n＋1)]

　　＝(n＋1)bn+1．②

　　②－①，得2(bn+1－1)＝(n＋1)bn+1－nbn，

　　即(n－1)bn+1－nbn＋2＝0．③

　　nbn+2－(n＋1)bn+1＋2＝0．④

　　④－③，得nbn+2－2nbn+1＋nbn＝0，

　　即bn+2－2bn+1＋bn＝0，

　　∴bn+2－bn+1＝bn+1－bn(n∈N*)．

　　∴{bn}是等差数列．

　　思路分析：(1)只要对已知条件进行适当变形立即可得；(2)根据(1)构造的数列便可求得通项公式，(3)利用幂的运算性质转化为两数列之间的关系．


练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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