Question

已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为，且过点

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线分别切椭圆C与圆（其中）于A、B两点，求|AB|的最大值。

Answer 1

（1）设椭圆的方程为，则，

椭圆过点，

    解得 故椭圆C的方程为   

   （2）设分别为直线与椭圆和圆的切点，

    直线AB的方程为：

    因为A既在椭圆上，又在直线AB上，   从而有，

    消去得：

    由于直线与椭圆相切，故

    从而可得：      ①              ②

    由  消去得：

    由于直线与圆相切，得   ③    ④

    由②④得：       由①③得：

   

   

   

    即，当且仅当时取等号，所以|AB|的最大值为2。