Question

【题目】定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.

（1）当时，若， ，求函数在闭区间上的值域；

（2）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.

Answer 1

【答案】(1) (2) 见解析

【解析】分析：（1）利用，分别求得函数在区间上的表达式，并求得其值域.（2）首先判断出值域相同.当时，利用求得的值，并利用周期性的定义证明得函数是周期为的周期函数.同理可证明当，函数也为周期函数.

详解：

（1）当时， ，

当时，即，

由得，则，

当时，即，

由得，则，

当时，即，

由得，

综上得函数在闭区间上的值域为.

（2）（证法一）由函数的值域为得， 的取值集合也为，

当时， ，则，即.

由得，

则函数是以为周期的函数.

当时， ，则，即.

即，则函数是以为周期的函数.

故满足条件的函数为周期函数.

（证法二）由函数的值域为得，必存在，使得，

当时，对，有，

对，有，则不可能；

当时，即， ，

由的值域为得，必存在，使得，

仿上证法同样得也不可能，则必有 ，以下同证法一.