Question

（本小题满分13分）如图，三棱柱中，，，．

（1）证明：；

（2）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以三棱柱为几何背景考查线线垂直、线面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，在等腰三角形中，O为AB中点，所以CO为高，由已知可得为等边三角形，所以得到，所以利用线面垂直的判定得平面，最后利用线面垂直的性质得；第二问，在等边三角形中，先解出边CO和的长，再利用分析出是直角三角形，得到线段的两两垂直关系，从而建立空间直角坐标系，得到平面和平面ACB的法向量，再利用夹角公式计算二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：取的中点，连接，，.

，故， . ..1分

又，，

为等边三角形．

， ..3分

又因为平面，平面，．

平面． 5分

又平面，因此． 6分

（2）方法一：过点作，垂足，连接.

在等边中，

在等边中．

在中．

是直角三角形，且，故． 8分

、平面，．

平面. 又平面，故．

、平面， ，故平面．

因为平面，所以．

所以是二面角的平面角． 10分

在中，．

在中，．

．

所以二面角的余弦值． 13分

方法二：在等边中，在等边中．

在中．

是直角三角形，且，故． 8分

分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，

由已知得，，，.

设为平面的法向量，

则，，

，，

又，，

.

取，则，，故． 11分

又是平面的法向量，二面角的大小等于或其补角．

．

依图知二面角的余弦值为．. 13分

考点：线线垂直、线面垂直、二面角.