Question

正四面体在桌面上的射影可能是下列图形中的哪一个?__________.

A.正方形　　　　              B.梯形              C.菱形(正方形除外)

Answer 1

思路分析:设正四面体为A—BCD,?

(1)当平面BCD与桌面平行时,投影为正三角形.?

(2)如果A的投影A₁在BCD的投影三角形B₁C₁D₁的内部,则为一般的三角形.?

(3)当AB、CD都与桌面平行的时候,因为AB垂直于CD,所以A₁B₁垂直于C₁D₁,且AB、CD的中点E、F的连线与桌面垂直,此时为正方形.?

(4)设AB平移到CD所在的平面上为A₂B₂与CD相交,则只要桌面与A₂B₂,CD所在的平面垂直,则为梯形(包括长方形).?

不可能为菱形.?

我们不妨设为菱形,AB在桌面的射影为A₁B₁,CD在桌面的射影为C₁D₁,?

AB的中点为E,CD的中点为F,?

其射影分别为E₁、F₁.?

因为A₁C₁B₁D₁为菱形,则E₁、F₁重合,?

也就是F、E_1、F₁在一条直线上,?

因为AB⊥EF,EF⊥A₁B₁,AB、A₁B₁在一个平面内,所以AB∥A₁B₁.?

所以A₁B₁=AB.?

同理,C₁D₁ =CD.?

所以A₁B₁ =C₁D₁.?

这是正方形,所以不可能为非正方形的菱形.

答案:A、B