Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，，.为线段上的点.

（I）证明：面

（Ⅱ）若是的中点，求与平面所成的角的正弦值;

（Ⅲ）若满足面，求二面角正弦值.

Answer 1

【答案】（I）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（I）根据平面几何知识得,由平面得，再根据线面垂直判定定理得结论，（II）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据垂直关系得平面一个法向量，利用向量数量积得向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角关系得结果，（Ⅲ）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据线面垂直确定G点坐标，列方程组解得平面一个法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

（I）取中点,因为，，

所以

因为平面,平面所以，

因为平面,平面,,

所以面

（II）以为坐标原点，,平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则因为,，所以,因为，所以,

因此

从而为平面一个法向量，

因此与平面所成的角的正弦值为.

（Ⅲ）同（II）建立空间直角坐标系，设,

因为面，

所以

因为为平面一个法向量，

设为平面的法向量，

则由得

所以

因此二面角正弦值为