Question

（2010•和平区一模）在数列{a_n}中，a1=1，an+1=

an

c•an+1

（c为常数，n∈N*），且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过已知条件，方程去倒数，即可推出数列满足等差数列的定义，说明数列{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）通过第一问，直接求出a₁，a₂，a₅，利用等比数列直接求出c的值；
（Ⅲ）通过第二问，求出a_n，然后利用b_n=a_na_n+1，通过裂项法直接求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）因为a1=1，an+1=

an

c•an+1

，所以a_n≠0，
则

1

an+1

-

1

an

=

c•an+1

an

-

1

an

=c，又c为常数，
∴数列{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

1

an

=

1

a1

+(n-1)c=1+(n-1)c，
∵a₁=1，∴a₂=

1

1+c

，a₅=

1

1+4c

，
∵a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列，所以(

1

1+c

)2=

1

1+4c

，
解得c=0或c=2，当c=0时，a_n=a_n+1，不满足题意，舍去，
所以c的值为2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c=2，∴an=

1

2n-1

，
b_n=a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以数列{b_n}的前n项和
S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)

点评：本题考查等比数列与等差数列的综合应用，数列的递推关系式的应用，裂项法求和，考查分析问题解决问题的能力．