Question

已知函数f(x)=

4x+2x+1+a

2x

．
（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？
（2）若对任意x∈[0，+∞），都有f（x）＞0，求实数a的取值范围．
（3）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用偶函数的定义进行求值．
（2）求函数的最小值即可．
（3）利用函数单调性的定义进行求值判断．

解答：解：（1）因为f(x)=

4x+2x+1+a

2x

=2x+2+

a

2x

=2x+2+a?2-x，
要使f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x）-----------（1分）
即2^-x+2+a?2^x=2^x+2+a?2^-x，解得a=1-----------（2分）
（2）因为f（x）＞0，所以4^x+2^x+1+a＞0，即（2^x+1）²+a-1＞0-----------（1分）
所以a＞1-（2^x+1）²-----------（1分）2x+2+

a

2x

=2x+2+a?2-x
因为x≥0，所以2^x≥1，所以（2^x+1）²≥4，所以1-（2^x+1）²≤-3，
所以a＞-3----------（2分）
（3）任取0≤x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂）-----------（1分）
即f(x1)-f(x2)=2x1+2+

a

2x1

-2x2-2-

a

2x2

＜0，
即2x1-2x2

a

2x1

-

a

2x2

=(2x1-2x2)?

2x1+x2-a

2x1x2

＜0，
因为0≤x₁＜x₂，所以2x1+x2-a＜0，
即a1，所以a≤1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性和最值的应用，考查学生的运算能力．