Question

已知f（x）=
（1）求出它的定义域和值域；
（2）判断它的奇偶性、周期性和单调性．

Answer 1

解：（1）∵，∴（sinx-1）（sinx+1）＜0，可得-1＜sinx＜1
∴函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠+kπ，k∈Z}
∵t=，y=∈R
∴f（x）=的值域为R；
（2）∵=
而-==
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）是其定义域上的奇函数；
∵==f（x）
∴f（x）是周期为2π的周期函数；
∵t==，t随着sinx的增大而减小，且∈（0，1）
∴随着sinx的增大而增大
由此可得在函数f（x）的定义域内，sinx的增区间就是f（x）的增区间，sinx的减区间就是f（x）的减区间．
因此，函数的增区间为（-+2kπ，+2kπ），减区间为（+2kπ，+2kπ），其中k∈Z．
分析：（1）根据对数的真数大于0，解关于x的不等式得-1＜sinx＜1，从而得到函数f（x）的定义域；再由对数函数的值域结合真数的取值范围，即可得到函数f（x）的值域；
（2）根据对数的运算法则和正弦函数奇偶性，利用函数奇偶性定义可得f（x）是奇函数；利用正弦函数的周期，可得f（x）是周期为2π的周期函数；最后用分离常数的方法，结合复合函数单调性判别法则可得函数f（x）的单调区间．
点评：本题给出含有sinx的分式作为真数的对数型函数，求函数的单调性、奇偶性和周期等问题．着重考查了基本初等函数的常见性质、复合函数的单调性法则等知识，属于中档题．