Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12,S₁₂＞0,S₁₃＜0,

(1)求公差d的取值范围；

(2)指出S₁,S₂,…,S₁₂中哪一个值最大，并说明理由.

Answer 1

(1)解：依题意，有S₁₂=12a₁+·d＞0,S₁₃=13a₁+·d＜0,

    即

    由a₃=12,得a₁=12-2d.         ⑶

    将⑶式分别代入⑴、⑵式，得∴-＜d＜-3.

(2)解法一：由d＜0可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃.

    因此，若在1≤n≤12中存在自然数n,

    使得a_n＞0,a_n+1＜0,则S_n就是S₁,S₂,…,S₁₂中的最大值.

    由于S₁₂=6(a₆+a₇)＞0,S₁₃=13a₇＜0,

    即a₆+a₇＞0,a₇＜0.因此a₆＞0,a₇＜0.

    故在S₁,S₂,…,S₁₂中S₆的值最大.

    解法二：由d＜0,可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃.

    因此，若在1≤n≤12中存在自然数n,

    使得a_n＞0,a_n+1＜0,

    则S_n就是S₁,S₂,…,S₁₂中的最大值.

    由

    故在S₁,S₂,…,S₁₂中S₆的值最大.