Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足S_n=

1

3

（1-a_n）（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n＜

1

3

；
（Ⅲ）设函数f（x）=log₂x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）S_n=

1

3

（1-a_n），当n≥2时，S_n-1=

1

3

（1-a_n-1），两式相减，得an=-

1

3

an+

1

3

an-1，整理得出a_n=

1

4

a _n-1，判断出数列{a_n}为等比数列，通项公式可求．
（Ⅱ）由S_n=

1

3

（1-a_n）得S_n=

1

3

[1-（

1

4

^_）n]，易证S_n＜

1

3

；
（Ⅲ）根据对数的运算法则，求得b_n=-n（1+n），

1

bn

=

1

n(1+n)

=

1

n+1

-

1

n

，经裂项后求和即可．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）S_n=

1

3

（1-a_n）
当n≥2时，S_n-1=

1

3

（1-a_n-1），
两式相减，得a_n=-

1

3

an+

1

3

an-1，整理得出a_n=

1

4

a _n-1，
由S₁=

1

3

（1-a₁），得a₁=

1

4

------------------（2分）
∴数列{a_n}是首项a₁=

1

4

，公比为

1

4

的等比数列，
∴a_n=

1

4

×

1

4

^n-1=（

1

4

^_）n，
---（4分）
（Ⅱ）  由S_n=

1

3

（1-a_n）得S_n=

1

3

[1-（

1

4

^_）n]
--（5分）
∵1-（

1

4

^）n＜1，
∴

1

3

[1-（

1

4

^_）n]＜

1

3

，即S_n＜

1

3

；
-------------------------（8分）
（Ⅲ） 函数f（x）=log₂x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）
=

log

a1 2

+

log

a2 2

+…+

log

an 2

=

log	(a1a2…an) 2

=log₂^（

1

4

^）1+2+…+n=-2（1+2+…+n）=-n（1+n）------------------（10分）
∵

1

bn

=

1

n(1+n)

=

1

n+1

-

1

n

∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=(

1

2

-1)+(

1

3

-

1

2

)+…+(

1

n+1

-

1

n

)
=

1

n+1

-1=-

n

n+1

-----（12分）

点评：本题是函数与不等式，数列的综合题．考查数列通项公式求解，对数的运算法则，裂项法数列求和，三者有机结合．是好题．