Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，，点是与的交点.

（1）求二面角的余弦值；

（2）若点在线段上且平面，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）在中,由可得,由余弦定理可得,则,可得,以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,分别求得平面和平面的法向量,进而利用向量的数量积求解即可；

（2）先求得平面的法向量,由点在线段上得,解得点的坐标,即可得到,再由求得,代回,进而利用向量的数量积求解即可.

（1）在中,

,

因为,所以,

在中,,所以是等边三角形,则,

所以,即,

因为平面,

所以分别以直线为轴,轴,轴如图建立空间直角坐标系,

则,,,,,,

则,,,,

设平面的法向量为,则,即,

令,则,,则

设平面的法向量为,则,即,

令,则,,则

则,

所以二面角的余弦值为

（2）设平面的法向量为,

因为且,

则,即,

令,则,,则,

设且,

则,即,则,

所以,

因为,即,则,

所以,

因为平面的法向量,则,

所以直线与平面所成角的正弦值为