Question

已知A、B、C、D四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)?

Answer 1

解：由条件知=(3,3),=(-2,1),AD=(m-1,n),=(2-m,4-n).

(1)若四边形ABCD为平行四边形，则，∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1.

∴当m=-1,n=1时,四边形ABCD为平行四边形.

(2)当m=-1,n=1时，=(3,3),=(-2,1).

则||=,||=,||≠||.因此，使四边形ABCD为菱形的m、n不存在.

(3)当m=-1,n=1时，·=(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB、CD不垂直.因此使四边形ABCD为距形的m、n不存在.

(4)由(2)、(3)知，使四边形ABCD为正方形的m、n不存在.

(5)若四边形ABCD为梯形，则=λ或=λ，其中λ为实数，且λ＞0,λ≠1.

所以(λ＞0,λ≠1)或(λ＞0,λ≠1).

整理得m、n的取值条件为n=m+2(m＜2,m≠-1)或n=(m＜1,m≠-1).