Question

已知函数的定义域为，且,，
当，且，时恒成立.
（1）判断在上的单调性；
（2）解不等式；
（3）若对于所有，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）

试题分析：（1）将赋予，即将转化为，根据可知，即，根据单调性的定义可得函数在上的单调性。（2）由（1）知在上是单调增函数，根据单调性可得自变量的大小关系，同时自变量应在所给的定义域内，有以上不等式组组成的不等式组可得所求不等式的解集。（3）恒成立即恒成立，用函数的单调性可求其最值。将问题转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，因为，又可将上式看成关于的一次不等式，讨论单调性即可得出。
试题解析：解：（1）∵当，且，时恒成立，
∴，  ∴ ，    2分
∴时，∴ ，
时，∴     4分
∴在上是单调增函数        5分
（2）∵在上是单调增函数，且
∴ ，    7分
解得     8分
故所求不等式的解集     9分
（3）∵在上是单调增函数，，
∴，     10分
若对于所有，恒成立，
则，恒成立，    11分
即，恒成立，
令，
要使在恒成立，
则必须，解得，或    13分
则的取值范围是    14分