Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知f（x）在R上是增函数，则

a≥- 2-a 2 a≤ 2+a 2

即-2≤a≤2，则a范围．
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，x-

1

x

＜a＜x+

1

x

，故只要x-

1

x

＜a且a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要x-

1

x

的最大值小于a且x+

1

x

的最小值大于a即可．由此可知答案．
（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则2ta∈(2a，

(a+2)2

4

)，即存在a∈（2，4]，使得t∈(1，

(a+2)2

8a

)即可，由此可证出实数t的取值范围为(1，

9

8

)．

解答：解：（1）f(x)=x|x-a|+2x=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

由f（x）在R上是增函数，则

a≥- 2-a 2 a≤ 2+a 2

即-2≤a≤2，则a范围为-2≤a≤2；（4分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，x-

1

x

＜a＜x+

1

x

，故只要x-

1

x

＜a且a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要x-

1

x

的最大值小于a且x+

1

x

的最小值大于a即可，（6分）
而当x∈[1，2]时，(x-

1

x

)′=1+

1

x2

＞0，x-

1

x

为增函数，(x-

1

x

)max=

3

2

；
当x∈[1，2]时，(x+

1

x

)′=1-

1

x2

＞0，x+

1

x

为增函数，(x+

1

x

)min=2，
所以

3

2

＜a＜2；（10分）
（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；（11分）
则当a∈（2，4]时，由f(x)=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

得x≥a时，f（x）=x²+（2-a）x对称轴x=

a-2

2

＜a，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a时，f（x）=-x²+（2+a）x对称轴x=

a+2

2

＜a，
则f（x）在x∈(-∞，

a+2

2

]为增函数，此时f（x）的值域为(-∞，

(a+2)2

4

]，f（x）在x∈[

a+2

2

，a)为减函数，此时f（x）的值域为(2a，

(a+2)2

4

]；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则2ta∈(2a，

(a+2)2

4

)，
即存在a∈（2，4]，使得t∈(1，

(a+2)2

8a

)即可，令g(a)=

(a+2)2

8a

=

1

8

(a+

4

a

+4)，
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，(g(a))max=g(4)=

9

8

，
故实数t的取值范围为(1，

9

8

)；（15分）
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为(1，

9

8

)；
综上所述，实数t的取值范围为(1，

9

8

)．（16分）

点评：本题考查函数性质的综合应用，解题时要认真审题．