Question

某隧道长6000米，最高限速为（米/秒），一个匀速行进的车队有辆车，每辆车的车身长12米，相邻两车之间的距离与车速（米/秒）的平方成正比，比例系数为（），自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为（秒）.

（1）求函数的解析式，并写出定义域；

（2）求车队通过隧道时间的最小值，并求出此时车速的大小.

Answer 1

（1），定义域为；（2）若，则当车速为（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值（秒）；若，则当车速为（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值（秒）.

解析:

（1）依题意得，车队通过隧道的时间关于车队行进速度的函数解析式为：

，

其中，定义域为；

（2）,；

令，于是

1当时，；

当且仅当时，取得最小值；

2当时，可知在上函数单调递减，则当时，车队经过隧道的时间的最小值为；

综上， 若，则当车速为（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值（秒）；若，则当车速为（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值（秒）.