Question

某隧道长6000米，最高限速为v（米/秒），一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长12米，相邻两车之间的距离与车速v（米/秒）的平方成正比，比例系数为k（k＞0），自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t（秒）．
（1）求函数t=f（v）的解析式，并写出定义域；
（2）求车队通过隧道时间t的最小值，并求出此时车速v的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据相邻两车之间的距离与车速v（米/秒）的平方成正比建立关系式，然后求出自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间t的解析式；
（2）先化简解析式，然后讨论v与的大小，当时利用基本不等式求出最小值，当时利用函数在（0，v]上的单调性求出函数的最小值，最后求出相应的速度．
解答：解：（1）依题意得，车队通过隧道的时间t关于车队行进速度v的函数解析式为：，其中，定义域为v∈（0，v]；
（2），v∈（0，v]；
令，于是：
①当时，；当且仅当时，t取得最小值；
②当时，可知在（0，v]上函数t=f（v）单调递减，则当v=v时，车队经过隧道的时间t的最小值为；
综上，若，则当车速为（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值（秒）；若，则当车速为v=v（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值（秒）．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，同时考查了利用基本不等式和函数的单调性求函数的最值，属于中档题．