Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．
（I）求抛物线的方程；
（II）若斜率为-

3

3

的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点M在直线l的右上方，求证：△MAB的内心在直线x=3上；
（III）在（II）中，若∠AMB=60°，求△MAB的内切圆半径长．

Answer 1

分析：（I）根据抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4，可得3+

p

2

=4，从而可求抛物线C的方程；
（II）求出M(3，2

3

)，设l：x=-

3

y+b，与抛物线方程联立，利用韦达定理可计算：kMA+kMB=

4

y1+2 3

+

4

y2+2 3

=

4(y1+y2+4 3 )

(y1+2 3 )(y2+2 3 )

=0，从而可得∠AMB的角平分线为x=3；
（III）利用S△MAB=

1

2

|MA||MB|sin60°及S△MAB=

1

2

(|MA|+|MB|+|AB|)r，即可求得△MAB的内切圆半径长．

解答：（I）解：∵抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4，
∴3+

p

2

=4，∴p=2．
所以抛物线C：y²=4x．（3分）
（II）证明：由（I）得M(3，2

3

)，设l：x=-

3

y+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x x=- 3 y+b

，消去x得y2+4

3

y-4b=0，所以y1+y2=-4

3

，
又KMA=

y1-2 3

x1-3

，KMB=

y2-2 3

x2-3

，y12=4x1，y22=4x2，
所以kMA+kMB=

4

y1+2 3

+

4

y2+2 3

=

4(y1+y2+4 3 )

(y1+2 3 )(y2+2 3 )

=0，
因此∠AMB的角平分线为x=3，即△MAB的内心在直线x=3上．（7分）
（III）解：由（II）得，直线MA，MB的倾斜角分别为60°，120°，所以kMA=

3

，kMB=-

3

．
直线MA：y=

3

(x-1)，所以

y2=4x y= 3 (x-1)

⇒3x2-10x+3=0，x1=

1

3

，xM=3．|MA|=

1+( 3

)2|x1-xM|=

16

3

．
同理x2=

25

3

，|MB|=

32

3

．
设△MAB的内切圆半径为r，因为|AB|=

1+(- 3 3

)2|x1-x2|=

16 3

3

，
S△MAB=

1

2

|MA||MB|sin60°=

128 3

9

，
所以S△MAB=

1

2

(|MA|+|MB|+|AB|)r=

128 3

9

，
所以r=

8 3 -8

3

（10分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程组，利用韦达定理及正确运用三角形的面积公式是解题的关键．