Question

（本小题满分12分）

已知函数f(x)=e^axlnx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：函数的定义域为（0，+∞）.f¢(x)=ae^axlnx+e^ax×= e^ax（alnx+）.  …2分

  当a=0时,f(x)=lnx在（0，+∞）上是增函数；       ……………………………3分

  当a<0时，∵，，∴，

  又∵e^ax >0，∴当x+∞时，f¢(x)<0，与f(x)在（0，+∞）上递增矛盾；………5分

 当a>0时，设g(x)= alnx+，则g’(x)=.

 当0<x<时，g’(x)<0，当x>时，g’(x)>0，所以g(x)在x=时取得最小值，g(x)

的最小值为g()=-alna+a=a(1-lna).        ……………………8分

 若a<e，则g()>0，从而f¢(x)>0，f(x)在（0，+∞）上是增函数；若a=e，则g()=0

其余各点处，g(x)>0，从而f¢(x)≥0（仅在x=时取等号），f(x)在（0，+∞）上是增函数；

若a>e，则g()<0，从而f¢()<0，与f(x)在（0，+∞）上递增矛盾. ……………11分

 综上所述，a的取值范围是[0，e].               ………………………………12分