Question

18．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}$a，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证，直线PB与AC垂直．

Answer 1

分析 （1）通过PD²+DA²=PA²，证明PD⊥DA，PD⊥DC，即可证明PD⊥平面ABCD．
（2）连结BD，证明PD⊥AC，推出AC⊥平面PDB，然后说明PB与AC所成的角为90°，得到结果．

解答 （本小题满分12分）
（1）证明：∵PD=a，AD=a，PA=$\sqrt{2}$a，
∴PD²+DA²=PA²，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，
∵AO∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
（2）证明：连结BD，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB，
∵PB?平面PDB，
∴AC⊥PB，
∴PB与AC所成的角为90°，
∴直线PB与AC垂直．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直的性质定理的应用，考查计算能力．