题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若
,求曲线
在
处的切线方程；
（2）若
在
上单调递增,求实数
的取值范围；
（3）当
时,求证:对于任意的
,均有
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）求出
,由
的值可得切点坐标，由
的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程；（2）函数
在[
]上单调递增
在[
]上恒有
.即
（
）
恒成立，令
（
）,只需求出
的最小值即可得结果；（3）先证明当
[
]时, 
, 
递增,有
成立，再讨论两种情况若
,不等式恒成立，只需分两种情况证明
（
]时也恒成立即可.
试题解析：（1）因为函数
,则
.
又因为
,
.
所以曲线
在（
）处的切线方程为: 
.
（2）因为
,所以
（
）
函数
在[
]上单调递增
在[
]上恒有
.即
（
）
恒成立.令
（
）,则
.又因为
在[
]上单调递增,所以
,
所以
.
（3）证明: 因为
,所以
（
）
.
令
（
）,则
.
①当
[
]时, 
, 
递增,有
,
因为
,此时, 
, 
递增,
有
成立.
②当
（
]时, 
, 
递减,有
,
若
,此时
, 
递增, 
显然成立.
若
（
],此时记
,则
在（
]上递增,
在（
]上递减.此时有
,
,
构造
,则
,
令
,求得
.故
在（
]上递减,
在（
）上递增,所以
，
所以
,此时满足
，
综上所述,当
时,对于任意的
[
],均有
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间
上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式
或
恒成立问题求参数范围，本题（2）是利用方法 ②求解的．
练习册系列答案
相关题目
