Question

设f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）求极值点与极值．

Answer 1

分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间，得到函数的极大值和极小值．

解答：解：（I）f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）＞0即3x²-x-2＞0解得x∈（-∞，-

2

3

）∪（1，+∞）
令f′（x）＜0即3x²-x-2＜0解得x∈（-

2

3

，1），
故函数在(-∞，-

2

3

)，（1，+∞）上为单调递增区间，在(-

2

3

，1)上为单调递减区间．
（II）由f′（x）=0，即3x²-x-2=0解得x=-

2

3

或x=1，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值 157 27	↓	极小值 7 2	↑

∴当x=1时，f（x）取得极小值

7

2

，当x=-

2

3

时，f（x）取得极大值

157

27

．

点评：本题考查了函数的单调性，会利用导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．