Question

如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．
（1）求PQ的最小值；
（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据△CPQ周长为2，并且△CPQ是直角三角形，设∠CPQ=θ，根据三角函数的定义，CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ，因此可以表示出，求该函数的最小值即可；
（2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1），P（1，y），利用两点间距离公式求出PQ，根据△CPQ周长为2，找出x，y的关系，求出∠PAQ的正切值，即可求得结果．
解答：解：设∠CPQ=θ，则CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ
（1）（）
∴
∴
（2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
设Q（x，1），P（1，y），设∠DAQ=α，∠PAB=β
∴，即xy+（x+y）=1
又tanα=x，tanβ=y
∴，
∴
∴
点评：本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属中档题．