Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，若

S2n

Sn

（n∈N^*）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．
（1）若数列{2 bn}是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{b_n}是否为“和等比数列”；
（2）若数列{c_n}是首项为c₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{c_n}是“和等比数列”，试探究d与c₁之间的等量关系．

Answer 1

分析：（1）根据数列{2 bn}是首项为2，公比为4的等比数列，根据等比数列的通项公式求得b_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，根据等比数列的求和公式求得T_n和T_2n，进而可求得

T2n

Tn

=4，判断出数列{b_n}为“和等比数列”；
（2）设数列{c_n}的前n项和为R_n，且

R2n

Rn

=k(k≠0)，根据等差数列的求和公式求得R_n和R_2n，代入

R2n

Rn

=k中，求得d=2c₁．

解答：解：（1）因为数列{2 bn}是首项为2，
公比为4的等比数列，
所以2 bn=2•4n-1=22n-1，
因此b_n=2n-1．
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
则T_n=n²，T_2n=4n²，所以

T2n

Tn

=4，
因此数列{b_n}为“和等比数列”；

（2）设数列{c_n}的前n项和为R_n，且

R2n

Rn

=k(k≠0)，
因为数列{c_n}是等差数列，
所以Rn=nc1+

n(n-1)

2

d，R2n=2nc1+

2n(2n-1)

2

d，
所以

R2n

Rn

=

2nc1+ 2n(2n-1) 2 d

nc1+ n(n-1) 2 d

=k对于n∈N^*都成立，
化简得，（k-4）dn+（k-2）（2c₁-d）=0，
则

(k-4)d=0 (k-2)(2c1-d)=0

，因为d≠0，所以k=4，d=2c₁，
因此d与c₁之间的等量关系为d=2c₁．

点评：本题主要考查了等比数列的性质．在高考中等比数列常用对数函数、不等式、极限等知识综合考查，应多注意等比数列与其他知识的联系．