Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=对称；        
②它的周期为π；
③它的图象关于点（，0）对称；      
④在区间[-，0]上是增函数．
以其中两个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：
（1）    ； （2）    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）由①得ω×+∅=kπ+； 再由③得ω +∅=kπ，k∈z，以及ω、∅的范围，求得ω、∅的值，从而得
函数解析式，从而求出周期和单调增区间，可得②④正确，故得①③⇒②④．
（2）由②可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅），再由①得  2×+∅=kπ+，k∈z，结合∅的范围可得φ=，
故函数f（x）=sin（2x+），由此推出③④成立．
解答：解：（1）：①③⇒②④．
由①得ω×+∅=kπ+，k∈z．  由③得ω +∅=kπ，k∈z．
又∵ω＞0，，故有ω=2，∅=．
∴，其周期为π．
令 ，可得 ．
故函数f（x）的增区间为[]．
∵，∴f（x）在区间[]上是增函数，
故可得 ①③⇒②④．
（2）：还可①②⇒③④．
由②它的周期为π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得  2×+∅=kπ+，k∈z．再由 可得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．
显然它的图象关于点（，0）对称，由（1）可得 f（x）在区间[]上是增函数．
故可得 ①②⇒③④．
故答案为 （1）：①③⇒②④；  （2）：①②⇒③④．
点评：本题主要考查三角函数的周期性，单调性，对称性，以及学生构造命题拓展问题的能力，属中档题．