题目内容
如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝
a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．
(Ⅰ)证明：PA⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角
的大小．
(Ⅲ)在棱DC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论
答案：
解析：
解析：
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(Ⅰ)证明：因为底面ABCD是菱形， 所以AB＝AD＝AC＝a， 在 知 同理， (Ⅱ)解：作EG∥PA交AD于G，
由 知 作 又PE∶ED＝2∶1 所以 从而 (Ⅲ)解法一：以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．
由题设条件，相关各点的坐标分别为 所以 设点F是棱PC上的点， 其中 则 令 即 解得 即 又 解法二：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．证明如下： 证法一：取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE．① 由 连接BM、BD，设 则O为BD的中点．
所以MB∥OE．② 由①、②知，平面BFM∥平面AEC． 证法二 因为 所以 又 |
，
得
时，
共面．
平面AEC，所以当F是棱PC的时，BF∥平面AEC．
，知E是MD的中点．
共面．
平面AEC，从而BF∥平面AEC．
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如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点E、F、G分别为CD、PD、PB的中点．PA=AD=2．
如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2