Question

已知向量、、、及实数x、y满足，，，若，且．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）及其定义域；
（2）若x∈[1，2]时，不等式f（x）≥mx-16恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知，由，知=1+（x-3）²，由此能求出y关于x的函数关系式y=f（x）及其定义域．
（2）当1≤x≤2时，欲使f（x）≥mx-16恒成立，即m≤x+-3恒成立，由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）∵，
∴，
又，
∴=1+（x-3）²，
∵，
∴1+（x-3）²≤10，解得0≤x≤6，
又∵，∴，
而=-y+x（x-3），
∴-y+x（x-3）=0，
∴y=f（x）=x（x-3），其定义域为[0，6]．
（2）当1≤x≤2时，
欲使f（x）≥mx-16恒成立，
即使x²-3x≥mx-16恒成立，
∴mx≤x²-3x+16，
即m≤x+-3恒成立，
令g（x）=x+，
，
当1≤x≤2时，g′（x）＜0，
∴g（x）=x+是减函数，
∴[g（x）]_min=g（2）=2+=10，
∴m≤x+-3≤10-3=7
∴m≤7．
点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．