Question

在等比数列{an}中，a1+a7=65，a3a5=64，且an+1＜an，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前5项的和S₅
（3）若T_n=lga₂+lga₄+…+lga_2n，求T_n的最大值及此时n的值．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公比为q．由等比数列性质可知：a₁a₇=a₃a₅=64，而a₁+a₇=65，a_n+1＜a_n．故a₁=64，a₇=1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由等比数列{a_n}中，a₁=64，q=

1

2

，能求出S₅．
（3）由bn=a2n=27-2n，知T_n=[-（n-3）²+9]lg2，由此能求出当n=3时，T_n的最大值为9lg2．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公比为q．
由等比数列性质可知：a₁a₇=a₃a₅=64，
而a₁+a₇=65，a_n+1＜a_n．
∴a₁=64，a₇=1，（3  分）
由64q⁶=1，得q=

1

2

，或q=-

1

2

（舍），（5  分）
故an=27-n．（7  分）
（2）等比数列{a_n}中，
∵a₁=64，q=

1

2

，
∴S5=

64×[1-( 1 2 )5]

1- 1 2

=124．（9  分）
（3）∵bn=a2n=27-2n

∴Tn=lgb1+lgb2+…+lgbn =lg(b1b2…bn)

（10分）
=（-n²+6n）lg2=[-（n-3）²+9]lg2（12  分）
∴当n=3时，T_n的最大值为9lg2．（14分）

点评：本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．