Question

已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：
①；                           ②函数图象的一条对称轴为；
③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；      ④方程在[﹣9，9]上有4个根；
其中正确的命题个数为（   ）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

D

解析试题分析：令，由得，又函数是R上的偶函数，所以..即函数是以6为周期的周期函数.所以.又，所以，从而；又函数关于轴对称.周期为6，所以函数图象的一条对称轴为；又当，且时，都有，设，则.故易知函数在上是增函数.根据对称性，易知函数在上是减函数，又根据周期性，函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；因为，又由其单调性及周期性，可知在[﹣9，9]，有且仅有，即方程在[﹣9，9]上有4个根.综上所述，四个命题都正确.
考点：函数的奇偶性、函数的单调性与周期性、函数的零点与方程的根