Question

设圆锥曲线C的两个焦点分别为F₁，F₂，若曲线C上存在点P满足|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=6：5：4，则曲线C的离心率等于

1

2

或

5

2

．

Answer 1

分析：依题意，|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=6：5：4，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|，再对圆锥曲线C是椭圆还是双曲线分类讨论，利用定义即可求得其离心率．

解答：解：∵|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=6：5：4，
∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|，
①若圆锥曲线C是椭圆，则2a=4c，
∴e=

c

a

=

1

2

；
②若圆锥曲线C是双曲线，
则e=

2c

2a

=

|F1F2|

|PF1|-|PF2|

=

5

6-4

=

5

2

．
故答案为：

1

2

或

5

2

．

点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，由题意得到|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|是基础，对圆锥曲线C分类讨论是关键，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．