题目内容
设函数f（x）=x+
，
（1）当x＞2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当x≥4时，求函数f（x）的最小值．
| 1 |
| x-2 |
（1）当x＞2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当x≥4时，求函数f（x）的最小值．
（1）∵x＞2，
∴x-2＞0，
∴f（x）=x+
=（x-2）+
+2≥2
+2=4，
当且仅当x-2=1，即x=3时取等号，
∴函数f（x）的最小值为f（3）=4；
（2）∵f（x）=x+
，
∴f′（x）=1-
=
，
∵x≥4，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[4，+∞）上单调递增，
∴当x=4时，f（x）取得最小值为f（4）=4+
=
，
故函数f（x）的最小值为
．
∴x-2＞0，
∴f（x）=x+
| 1 |
| x-2 |
| 1 |
| x-2 |
(x-2)
|
当且仅当x-2=1，即x=3时取等号，
∴函数f（x）的最小值为f（3）=4；
（2）∵f（x）=x+
| 1 |
| x-2 |
∴f′（x）=1-
| 1 |
| (x-2)2 |
| (x-3)(x-1) |
| (x-2)2 |
∵x≥4，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[4，+∞）上单调递增，
∴当x=4时，f（x）取得最小值为f（4）=4+
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
故函数f（x）的最小值为
| 9 |
| 2 |
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