Question

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），并且满足三个条件：
①对任意正数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；  
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（1）求f（1）和f（

1

9

）的值；
（2）判断并证明y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，求f（1）和f（

1

9

）的值．
（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．
（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．

解答：解：（1）∵任意正数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；  
∴令x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
∵f（3）=-1，∴令x=3，y=

1

3

，则f（3×

1

3

）=f（3）+f（

1

3

），
即f（1）=f（3）+f（

1

3

），
∴f（

1

3

）=f（1）-f（3）=0-（-1）=1．
f（

1

9

）=f（

1

3

×

1

3

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=2f（

1

3

）=2×1=2．
（2）y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
证明：设x₁，x₂是（0，+∞）任意两个变量，且x₁＜x₂，设x₂=tx₁，（t＞1），
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（tx₁）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0；
∴f（t）＜0，即f（x₁）-f（x₂）=-f（t）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
（3）∵f（

1

9

）=2，
∴不等式f（kx）+f（2-x）＜2等价为f（kx）+f（2-x）＜f（

1

9

），
即f[kx（2-x）]＜f（

1

9

），
∵函数在（0，+∞）上的单调递减．
∴

kx(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

，即k＞

1

9x(2-x)

，x∈(0，2)，
∵当x∈（0，2）时，y=

1

9x(2-x)

=

1

-9(x2-2x)

=

1

-9(x-1)2+9

≤

1

9

，
∴k＞

1

9

．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数求值的基本方法，利用抽象函数恒成立，可以将条件进行转换．